Имею давнюю привычку, говоря по телефону, чертить ручкой на бумаге некоторые каракули. Но не совсем бессистемные. Например, неоднократно ловил себя на том, что подсознательно рисую вот такую бесконечную ломаную линию, состоящую из медиан треугольников, на которые эта ломаная постепенно делит исходный треугольник:
Сегодняшней ночью этот чертеж мне почему-то примерещился во сне, и после пробуждения я задался вопросом о длине этой бесконечной ломаной. Взяв клочок бумаги, я сообразил, что в результате её вычерчивания получается множество всё более уменьшающихся в размерах треугольников, каждый из которых подобен исходному. А потому, обозначив самую первую медиану, проведённую из вершины С, через mc, получим следующую последовательность длин, составляющих в сумме искомую длину ломаной:
Или, введя обозначение
получим далее по формуле суммы бесконечной геометрической прогрессии
где L и есть искомая длина.
Припомнив далее формулу длины медианы треугольника, выводимую из теоремы Стюарта, получим в итоге
Несложная, оказывается, задачка. Аккурат для восьмого класса средней школы.
А во сне она почему-то казалась мне вовсе неразрешимой :))
Надо бы заняться аналогичными ломаными, составленными из высот и биссектрис!
ECLECTIUM 